从零开始的 IMU 状态模型推导

2016-11-20

目录

提示:请使用 Firefox,Chrome,Edge 等较新的浏览器阅读,以获得完整的公式排版。IE 请使用 IE 11。

本文已授权「泡泡机器人 SLAM」微信公众号(paopaorobot_slam)发表。

0. 总览

IMU 是移动机器人、移动智能设备上常见的传感器。常见的 IMU 为六轴传感器,配备输出三轴加速度的加速度计和输出三轴角速度的陀螺仪。九轴 IMU 还会配备输出三轴姿态角的磁力计。我们这里只讨论六轴 IMU。

IMU 的状态量通常表示为:

这里我们使用和 MSCKF [1] 一样的 notation。用 {I} 表示 IMU 坐标系,{G} 表示参考坐标系。IMU 的姿态由旋转量 $^I_G \bar{q}$ 和平移量 $^G{\bf p}_I$ 表示。更具体来说,前者为将任意向量从 {G} 坐标映射到 {I} 坐标的旋转量,用单位四元数表示;后者为 IMU 在 {G} 下的三维位置。$^G{\bf v}_I$ 表示 IMU 在 {G} 下的平移速度。另外两个量 ${\bf b}_g$ 和 ${\bf b}_a$ 表示陀螺仪(角速度计)和加速度计的 bias。可以注意一下这里除了 bias 之外的状态量的时间维度:平移量表达到速度(p 和 v,对时间的一阶导),因为 IMU 只提供到加速度(对时间的二阶导)的测量;旋转量只表达姿态量(对时间的零阶导),因为 IMU 提供到角速度(对时间的一阶导)。状态量的估计可以由 IMU 测量积分得到。

对于 IMU 状态估计问题,需要提供运动模型、观测(噪声)模型、估计误差模型:

这是一个通用模型,我们用 $\bf x$ 表示真实状态量(待估计,不可知),用 ${\bf z}$ 表示观测量,${\bf n}$ 表示观测噪声,$\hat{\bf x}$ 表示当前的状态估计量。这篇小文主要讲 IMU (即 ${\bf x} := {\bf X}_{IMU}$ 时)这三个模型的推导。

1. IMU 运动模型

1-1. 前置(1): 旋转量求导

这部分讲刚体动力学相关的前置知识,熟悉的读者可以跳过。

众所周知,一个刚体在同一个惯性坐标系下进行平移运动,其平移量对时间的一阶导和二阶导即速度和加速度:

对于旋转量以及非惯性系参考坐标系,情况稍微复杂些。

首先,如下图(左)所示,考虑一个从原点出发的向量 $\bf r$ 绕单位轴 $\bf u$ 旋转,角速度大小为 $\dot{\theta}$。

角速度矢量可以表示为 ${\boldsymbol \omega}=\dot{\theta}\bf u$。易得向量 $\bf r$ 末端点 P 的速度矢量,即 $\bf r$的时间一阶导为

现在考虑上图(右),坐标系 {B} 绕单位轴 $\bf u$ 旋转,如上所述,其三个轴的时间一阶导同样为

我们知道,$ [ {\bf i}_B \quad {\bf j}_B \quad {\bf k}_B ]$ 实际上就是坐标系 {B} 相对于参考坐标系的旋转矩阵 $\bf R$。所以 $\bf R$ 的时间一阶导为

我们知道上面的叉乘运算可以转化为负对称矩阵的乘法:

其中负对称矩阵为

注意这里的角速度 ${\boldsymbol \omega}$ 是在参考坐标系下表达的。角速度也经常表达在体坐标系 {B} 下,记为 ${}^B{\boldsymbol \omega} = {\bf R}^T{\boldsymbol \omega}$,即 ${\boldsymbol \omega} = {\bf R}{}^B{\boldsymbol \omega}$,于是 $(1.1)$ 可以写作

这里我们要利用负对称矩阵的一个很好的性质:对任意旋转矩阵 $\bf R$ 和三维向量 $\bf v$,都有 $({\bf R v})^{\land} = {\bf Rv^{\land}R}^T$(参看《(Rv)^ = Rv^R’ 的简单证明》),于是 $(1.2)$ 可以写成

比较一下 $(1.1)$ 和 $(1.3)$,可以发现一个很有趣的事实,角速度如果表达在参考坐标系下,负对称矩阵写在左边;如果表达在体坐标系下,负对称矩阵写在右边。这点微小的区别,读者在阅读文献时可以特别留意。

1-2. 前置(2): 四元数

这部分讲四元数如何表示旋转的前置知识,熟悉的读者可以跳过。

用旋转矩阵来表示旋转很直观,但过于冗余,因为旋转只有三个自由度,而旋转矩阵有九个量。表征旋转还可以用欧拉角,但有万向锁问题,而且计算也不方便。旋转向量(即李代数 so(3))和四元数是更常用的表征方法,在惯性导航中四元数似乎更普遍些。这里采用四元数。

一个四元数由一个实部和三个虚部构成,书写顺序各家不同,这里和 MSCKF [1] 一样,虚部在前实部在后:

虚部 ${\boldsymbol v}=[q_1 \quad q_2 \quad q_3]^T$。虚部三个基 $i,j,k$ 满足 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。 四元数仍是一种冗余表达法,为了更紧凑,通常使用使用单元四元数 $\bar{\bf q}$,通过将四元数的模直为 1 得到。

四元数和旋转向量有很直接的转换关系。绕单位轴 $\bf u$ 转了 $\theta$ 角度,用四元数表达为

四元数乘法 $\otimes$ 为类似于多项式乘法的逐项相乘:

这个计算结果可以表达为多种形式:

四元数乘法和其对应的两个旋转矩阵相乘物理意义是一样的,即 ${\bf R}({\bf q\otimes p})={\bf R}({\bf q}){\bf R}({\bf p})$。四元数对应的旋转矩阵为:

四元数的逆为 ${\bf q}^{-1} = [-{\boldsymbol v}^T \quad q_4]^T$。易得 ${\bf q}\otimes{\bf q}^{-1}=[0\quad 0\quad 0\quad 1]^T:={\bf q}_I$,故 ${\bf q}_I$ 表示旋转量为零。

四元数对时间一阶导为

读者可能注意到了 $(1.6)$ 和 $(1.1)$ 形式上的相似。这里 $\boldsymbol \omega$ 的意义也是一样的。$(1.6)$ 的推导可以参考 [2],这里不赘述。

1-3. IMU 运动模型

有了前置知识的铺垫之后,我们可以给出 IMU 的运动模型:

${}^I_G \dot{\bar{q}}$ 由 $(1.6)$ 直接得到。注意这里角速度 $\boldsymbol \omega$ 是在体坐标系 {I} 下表达的,与 $(1.1)$ 处相反。原因是 ${}^I_G \bar{q}$ 表示的旋转方向与 $(1.1)$ 处的 $\bf R$ 是相反的。其他的四项,速度和加速度都很简单,bias 两项在下面观测模型部分讲。

2. IMU 观测和噪声模型

2-1 前置(1): 科氏加速度

这部分在 1-1 的基础上,讨论参考坐标系不是惯性系的情况,熟悉科氏加速度的读者可以跳过。我们仍利用 1-1 中的图,但这次把绕惯性系 {A} 中固定单位轴 $\bf u$ 旋转的 {B} 作为参考坐标系。考虑下图, 点 P 相对于 {B} 运动,记 $^B{\bf r}$ 分别为 P 在 {B} 下的坐标,$\bf r$ 为 P 的绝对坐标(即 {A} 下坐标), $\bf R$ 仍为 {B} 相对于 {A} 的旋转矩阵,易知 $ {\bf r}={\bf R}^B{\bf r}$。

求一阶时间导,并利用公式 $(1.1)$:

记 P 在 {B} 下速度为 $^B\bf v$,于是

请注意,这里用 ${\bf v}_r$ 来表达「相对速度」的概念,准确定义为 P 相对于 {B} 的速度,在惯性系 {A} 下的表达。请分清 ${\bf v}_r$、$\bf v$ 以及 $^B\bf v$ 三者之间的区别和联系。

再对 $(2.0)$ 求时间导:

我们来逐项分析上面这个式子。第一项中 ${\boldsymbol \alpha}$ 为 {B} 的角加速度,所以第一项的物理意义是 {B} 旋转所造成的 P 的切向加速度。第二项是 {B} 旋转所造成的向心加速度。第四项为 P 相对于 {B} 的加速度,但在惯性系 {A} 下表达——类似于 ${\bf v}_r$,定义相对加速度 ${\bf a}_r$。第三项比较特殊,为 {B} 的旋转运动与 P 相对 {B} 的平移运动耦合产生的加速度,称为「科氏加速度」。可以看到,除了第四项外,另外三项都和 {B} 的旋转有关。

2-2 前置(2): 惯性导航相关坐标系定义

这部分讲惯性导航中经常出现的几个坐标系的定义 [5]。

Earth-Centered-Earth-Fixed (ECEF) Frame:地心地固坐标系 ECEF。以地心为坐标原点,向北为 z 轴,x-y 平面为赤道平面,x 轴指向经纬度 (0,0) 点。ECI 固连在地球上,跟随地球自转,非惯性坐标系。MSCKF 一代 [1] 使用 ECEF 为参考坐标系 {G}。

Earth-Centered-Inertial (ECI) Frame:地心惯性坐标系 ECI。以地心为坐标原点,向北为 z 轴,x-y 平面为赤道平面,x 轴指向春分点(vernal equinox point,即每年春分时日心-地心连线与赤道的交点)。ECI 不跟随地球自转,在惯性导航中视为惯性坐标系。MSCKF 二代 [3] 使用 ECI 为参考坐标系 {G}。

Body Frame:体坐标系。原点在导航体的质心,固连在导航体上,用来表示导航体的姿态。在本文前置推导部分为 {B},在 MSCKF 中为 {I}。

2-3 前置(3): 高斯白噪声与随机游走

这部分讲高斯白噪声和随机游走(random walk)模型,及其离散化。这部分在kalibr 库中的 IMU noise model [4] 有简单的介绍,这里在其基础上添加了离散化的推导,因为离散化中部分内容还是有些令人疑惑的。离散化的推导部分参考自 [5]。

先讲高斯白噪声。一个连续时间的高斯白噪声 $n(t)$,满足以下两个条件

其中 $\delta()$ 表示狄拉克函数。可以看出,不同时刻的高斯白噪声相互独立。$\sigma_g^2$ 为方差,值越大,表示噪声程度越大。

将高斯白噪声离散化,可得到:

其中

其中 $\Delta t$ 为采样时间。为什么离散化后分母会多出 $\sqrt{\Delta t}$ 这一项呢?我们假定在一个采样周期内 $n(t)$ 为常数,于是

所以有 $\sigma_{gd}^2=\frac{\sigma_g^2}{\Delta t}$,即 $\sigma_{gd}=\frac{\sigma_g}{\sqrt{\Delta t}}$。

接下来讨论随机游走模型。准确地讲,随机游走其实是一个离散模型,其连续模型称为维纳过程(Wiener Process)。维纳模型是高斯白噪声的积分:

其中 $w$ 为单位高斯白噪声。将其离散化后得到随机游走模型:

其中

这里多出来的 $\sqrt{\Delta t}$ 又是哪来的呢?仍假定一个采样周期内高斯白噪声为常数,有:

所以有 $\sigma_{bgd}^2=\sigma_{bg}^2\Delta t$,即 $\sigma_{bgd}=\sigma_{bg}\sqrt{\Delta t}$。

于是我们得到随机游走模型的完整表达。实际上,观察离散模型的表达式,可以发现它生动阐释了「随机游走」的含义:每一时刻都是上一个采样时刻加上一个高斯白噪声得到的,犹如一个游走的粒子,踏出的下一步永远是随机的。在我们前面给出的 IMU 的运动模型中,bias 就设定为服从随机游走模型。

2-4. IMU 观测模型

根据上述前置知识,现在我们可以给出 IMU 的观测模型。需要注意的是,观测在不同参考坐标系下形式不同。

以 ECEF 为参考坐标系:这是 MSCKF 一代 [1] 的做法。因为 ECEF 不是惯性系,需要考虑地球自转,于是加速度模型中将会引入科氏加速度。记 ${\boldsymbol \omega}_G$ 为地球自转角速度, ${}^G{\bf g}$ 为重力加速度, ${\boldsymbol \omega}_m,{\bf a}_m$ 为陀螺仪和加速度计的观测量,观测模型由以下公式给出:

观测量都是在体坐标系 {I} 下表达的,所以在参考坐标系 {G} 下表达的量都需要左乘一个旋转矩阵转化到体坐标系。每个观测量的不确定量都用一个随机游走的 bias 和一个高斯白噪声之和来表达。陀螺仪的观测模型是比较易懂的。加速度计的观测模型,我们先将其改写为形如 $(2.1)$ 的形式:

但这还不够,因为各个量只是在 ECEF 坐标系 {G} 下的表达,而 $(2.1)$ 中的量都是表达在惯性坐标系下的。记 ${\bf R}_G$ 为将 {G} 下坐标映射到惯性坐标系下坐标的旋转矩阵。由于 ECEF 绕固定的 z 轴匀速转动,易得 ${\bf R}_G{\boldsymbol \omega}_G = {\boldsymbol \omega}_G $。于是上式两边左乘 ${\bf R}_G$,可得

这里我们还利用了 ${\bf R}(\bf a\times b)={\bf Ra}\times{\bf Rb}$ 的性质。上式对应到 $(2.1)$ 中各项,左边为绝对加速度 $\bf a$;因为地球自转是匀速的,故切向加速度项 ${\boldsymbol \alpha} \times\bf r$ 为零。其余各项,依次为向心加速度项 ${\boldsymbol \omega}\times({\boldsymbol \omega}\times{\bf r})$,科氏加速度项 $2{\boldsymbol \omega}\times{\bf v}_r$,以及相对加速度项 ${\bf a}_r$。

以 ECI 为参考坐标系:这是 MSCKF 二代 [3] 的做法。由于 ECI 为惯性系,不需要考虑地球自转,于是观测模型简单很多:

因为比较简单,就不多做解释了。从文献上看,现在移动机器人领域 ECI 用得更多些。

至此,我们推导完了 IMU 的观测模型。

3. IMU 状态估计误差模型

3-1. 前置:四元数误差小量

旋转量是非线性的,不宜像线性量那样使用 $\tilde{ \bf x}= x-\hat{x}$ 来定义误差量。这里我们使用四元数误差小量来定义误差量。根据 $(1.4)$,四元数可以用旋转向量经简单的转换得到。假定绕单位轴 $\bf u$ 旋转了一个角度小量 $\delta \theta$,用四元数表达为:

于是,可以用 $\delta {\bf q} $ 来表示旋转的真实值和估计值之间的误差,具体关系为

直接使用 $\boldsymbol{\delta \theta}$,可以实现参数最小化,适用于优化问题中的目标函数。

3-2. IMU 状态估计误差模型

我们直接给出和 MSCKF 一样的 IMU 状态估计误差模型:

其中旋转量按照四元数误差小量给出,其余直接由真实值和估计值相减得到。

4. 小结

本文从基础出发推导了 IMU 的运动模型$(1.7)$、观测和噪声模型$(2.2)-(2.5)$、估计误差模型$(3.0)$,适用于用 IMU 来做状态估计的场合。至于以上这些模型如何再经过线性化、离散化等处理进入具体状态估计问题的框架中,这里不做赘述,留待读者阅读和探索。

参考文献

[1] Mourikis, Anastasios I., and Stergios I. Roumeliotis. “A multi-state constraint Kalman filter for vision-aided inertial navigation.” Proceedings 2007 IEEE International Conference on Robotics and Automation. IEEE, 2007.

[2] Trawny, Nikolas, and Stergios I. Roumeliotis. “Indirect Kalman filter for 3D attitude estimation.” University of Minnesota, Dept. of Comp. Sci. & Eng., Tech. Rep 2 (2005): 2005.

[3] Li, Mingyang. “Visual-inertial odometry on resource-constrained systems.” (2014).

[4] IMU noise model https://github.com/ethz-asl/kalibr/wiki/IMU-Noise-Model

[5] Crassidis, John L., and John L. Junkins. Optimal estimation of dynamic systems. CRC press, 2011.


标签: roboticsVIO

留言请用 Github Issues

聊天请在 Gitter/fan-farm

授权协议 (CC) BY-NC-SA | 订阅 RSS | 邮箱 fzheng@link.cuhk.edu.hk