四元数的两种 notation:Hamilton 和 JPL

2017-11-11

Quaternion(四元数)是一种常用的三维空间旋转的表示法。四元数由一个实部和三个虚部构成,写如 $\mathbf{q}=q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k$, 其中 i, j, k 为虚部的三个基,满足 $i^2=j^2=k^2=-1$,有点类似复数中的虚部。通常用单位四元数(即模为 1 的四元数)来表示旋转量。

很长一段时间里,我都以为四元数只有一种定义法,截取维基百科定义 [1]

在这种定义下,单位四元数转化为旋转矩阵的公式为:

不过,在我阅读高翔博士的《视觉 SLAM 十四讲》一书 [7] 时,我发现其中的四元数到旋转矩阵的转换公式和上式不同,是上式的转置。这使我怀疑,是我之前看过的材料有错,还是高博的书有错。在翻阅 Stergios I. Roumeliotis 等撰写的 Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation [2] 这篇流传甚广的关于四元数的 tutorial 时发现了答案。原来,四元数并不只有一种定义,常见的 convention 有两种,Hamilton 和 JPL。维基百科的 quaternion 条目使用的是 Hamilton,而 Roumeliotis 的 tutorial 则使用了 JPL。Hamilton 和 JPL 两者的根本差别在于三个虚部的相互关系。在 Hamilton convention 里,$ijk=-1$;而 JPL 则取 $ijk = 1$。 这直接导致两者在四元数乘法、与其他旋转表示法相互转换时的公式都有所不同。而高博书中四元数的定义采用的是 Hamilton,但四元数转旋转矩阵使用的是 JPL convention 下的公式——猜想是在写书时两处公式刚好参考了两份使用不同 convention 的文献造成。这个问题高博表示已经发现,相信新一版的书里会更正。

关于书的疑惑解除了,但四元数的表示存在两种 convention 这件事又让我疑惑。四元数是数学家 William Rowan Hamilton 引入的,那么 Hamilton convention 应该是他一开始使用的。那 JPL convention 又是从哪儿冒出来的呢?从我阅读的使用了 JPL convention 的文献(如 Roumeliotis 的 tutorial)来看,这个标准是由著名的 NASA Jet Propulsion Laboratory (JPL) 搞的,参阅文献是一份题为 Quaternions - Proposed Standard Conventions 的 Tech Report。遗憾的是,我搜索不到 JPL 的这份报告。

唯一可以确定的是,两种 convention 的存在,确实给学界造成了一些困惑或争论。

比如,一件吊诡的事情就是,虽然维基百科的 quaternion 主条目使用了 Hamilton 风格的定义,Quaternions and spatial rotation 条目 [3] 也用了 Hamilton,另一个四元数与其他旋转表示法相转换的条目里 [4] 却使用了 JPL 的定义。不能不说,混乱和不严谨不统一是维基百科这种大杂烩式的自由百科的缺点。

学者 Nicolas Rotella 在一篇报告里也提到这个问题 [5],对学界往往混用两种 convention 表示很心塞:“unfortunately, the quaternion algebra used in these conventions is often mixed up in the literature”。最后这个作者使用的是 JPL。

Github 上也能看见不少的关于四元数不同 convention 的问题和争论。比如知名的 ETH-ASL 的一个项目下就有这样一个 issue

看起来他们组支持 Hamilton 的比较多。

Joan Sola 在另一篇报告 Quaternion kinematics for the error-state KF [6] 里也投了 Hamilton 一票。

我个人意见是,四元数存在两种 convention 的现状实在糟糕透顶,如果已经存在 Hamilton,大家都用得好好的,实在无法理解 JPL 提出一个新的标准到底有什么必要。嗯,你们 JPL 是很厉害,但另立标准、混淆视听实在是异端,烧死烧死!在当前情况下,任何一份可靠的材料,在使用四元数时至少都应明示使用哪种 convention。从现实的角度讲,Eigen 这种通用线性代数运算库用的是 Hamilton,Matlab 使用的是 Hamilton(MathWorks: Quaternion),ROS、Google Ceres Solver 也用的是 Hamilton, 那么大家还是尽量用 Hamilton,免除烦恼。愿异端 JPL 尽早进入历史的垃圾堆。

2018-03-19 更新: 经查证,维基百科条目 [4] 只是声称使用了 JPL,实际公式用的还是 Hamilton…… 不知道为什么会出现这种错误。感谢 Hannes 向我指出了这个问题。

此外,Hannes 还写了一篇论文,对此问题进行了更详尽的追根溯源,并给出实践上的合理倡议。 论文放在 arxiv 上。 也可以在 ResearchGate 上获取其精简版。

参考文献:

[1] Wikipedia: Quaternion

[2] Nikolas Trawny and Stergios I. Roumeliotis, Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation

[3] Wikipedia: Quaternions and spatial rotation

[4] Wikipedia: Conversion between quaternions and Euler angles

[5] Nicholas Rotella, Quaternion Review and Conventions

[6] Joan Sola, Quaternion kinematics for the error-state KF

[7] 高翔,张涛,刘毅,颜沁睿:视觉 SLAM 十四讲,电子工业出版社,2017.


标签: robotics

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